Zahlen darstellen

Das Dezimalsystem bewusst betrachten

Im Dezimalsystem stehen zehn Ziffern zur Verfügung. Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Position ab. Die Stellenwerte sind Potenzen von 10. So lässt sich beispielsweise 90328 zerlegen in:

9·10⁴ + 0·10³ + 3·10² + 2·10¹ + 8·10⁰

Das Dualsystem funktioniert nach demselben Stellenwertprinzip – nur mit Basis 2.

Ganze Zahlen im Dualsystem

Im Dualsystem gibt es nur die Ziffern 0 und 1. Von rechts nach links besitzen die Stellen die Werte 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 …, also Potenzen von 2. Eine 1 bedeutet: Der Stellenwert wird addiert; eine 0 bedeutet: Er wird nicht verwendet.

101101₂ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀

Bitbreite und Wertebereich

Mit n Bits gibt es 2ⁿ unterschiedliche Muster. Für vorzeichenlose ganze Zahlen ergibt sich der Wertebereich von 0 bis 2ⁿ−1.

Hexadezimal als Kurzschreibweise

Vier Bits haben genau 16 mögliche Muster. Deshalb passt eine Gruppe aus vier Bits exakt zu einer Hexadezimalziffer. Die zusätzlichen Ziffernwerte 10 bis 15 werden mit A bis F geschrieben.

Beispiel: 1011 1000 1110 0001₂ lässt sich gruppenweise als B8E1₁₆ schreiben. Hexadezimal ist also keine andere Speicherung im Computer, sondern eine kompakte menschliche Schreibweise für Bitmuster.

Zahlen in der Praxis

Nicht alles, was wie eine Zahl aussieht, sollte als Zahl gespeichert werden. Telefonnummern, Postleitzahlen oder Inventarcodes können führende Nullen oder zusätzliche Zeichen enthalten und werden daher häufig als Text behandelt. Umgekehrt werden Datums- und Zeitangaben intern oft durch Zahlen repräsentiert und erst für die Anzeige formatiert.

Wie viele Bits sind sinnvoll?

Eine feste Bitbreite begrenzt den darstellbaren Wertebereich. Zu wenige Bits führen zu Überläufen; sehr viele Bits verbrauchen zusätzlichen Speicher. Moderne Programmiersprachen und Datenbanken lösen dieses Problem unterschiedlich: Manche Datentypen haben feste Grenzen, andere können für ganze Zahlen bei Bedarf zusätzlichen Speicher verwenden.

Negative Zahlen und Zweierkomplement

Ein naheliegender Ansatz wäre ein zusätzliches Vorzeichenbit. Das erzeugt jedoch unter anderem zwei Darstellungen für Null und erschwert die Arithmetik. Üblich ist deshalb das Zweierkomplement.

Bei 8 Bit liegt der Bereich im Zweierkomplement bei −128 bis +127. Positive Werte sehen wie normale Dualzahlen aus. Einen negativen Wert erhält man aus dem positiven Betrag durch Bitumkehr und anschließendes Addieren von 1.

-30 in 8 Bit:
 30  = 00011110
invertieren → 11100001
+1          → 11100010

Ein wichtiger Vorteil: Addition kann mit derselben binären Addierschaltung für positive und negative Zahlen erfolgen, solange die feste Bitbreite korrekt berücksichtigt wird.